Egy járvány lefutása avagy ágens alapú elemzése a SEIR járványmodellnek

Mi is az a SEIR modell?

A SEIR modell egy járványdinamikai modell, ami determinisztikus matematikai modell segítségével határozza meg egy járvány lefutását. Egyszerűbben ez egy modell, ami megmutatja, hogyan terjed egy vírus. A folyamatot úgy kell elképzelni, hogy a populációban 4 kategóriában lehetnek az emberek: Fogékony (Susceptible – S), Lappangó (Exposed – E), Fertőző (Infected – I) és Gyógyult (Recovered – R). Egyedül a fogékonyak tudják elkapni a betegséget a fertőzőktől, viszont ha elkapták akkor először a lappangó fázisba kerülnek. Ekkor még nem tudnak fertőzni, de egy bizonyos időn belül ők is fertőzők lesznek, a fertőző fázis után pedig gyógyultak lesznek. Ebben a modellben nincs újrafertőződés, sem semmilyen szabályozás és meghalni sem képesek az emberek.

A modellnek van egy jellegzetes ábrája, ami lentebb látható. Ezen a legérdekesebb görbe a fertőzők időbeli alakulása, mivel az összes szabályozási kérdés esetén a legfontosabb az volt, hogy egyszerre hány beteg van egy adott területen. Ezen a görbén lehet azt vizsgálni, amit oly sokszor hallottunk, hogy a járvány görbéje ellaposodott vagy sem.

A saját megközelítésem

A célom az volt, hogy a modellt életszerűbbé tegyem és hogy döntéshozói oldalról is értékelhető legyen. Ennek érdekében beleépítettem a halálozás lehetőségét, különböző szabályozásokat (oltás, maszkviselés és karantén), emellett pedig megpróbáltam a járvány költségeit is egyszerűen ábrázolni. Ezen felül, hogy még jobban hasonlítson egy valós helyzetre az emberek szabálykövetése és a döntéshozók szigora is megjelenik a modellemben.

A költségek a következőképp lettek meghatározva. Az oltások költsége a napi szétosztott oltások száma szorozva az oltás árával, a karantén egy egyszeri nagy összeggel növeli a költségeket. Ez azért elfogadható, mert a karantén az egész lefutási időtartamra érvényes, de a modellezés szempontjából könnyebb levonni a karantén összes költségét egyszerre, mint naponként egyesével. Az utolsó költségtípus pedig a kórházi költség. Ez abban az esetben lép fel, ha a nagyon súlyos betegek száma meghaladja a kórházak kapacitását, így a döntéshozóknak az ilyen betegek ellátása mindenképp plusz költség. A költségek nagysága és aránya sem képes vissza adni azt, ami a valóságban történt, mivel egy nagyon egyszerű modellről van szó, de az összköltség GDP arányos összehasonlítása alkalmas arra, hogy lássuk az egyes esetek költségbeli különbségét.

Az ágens alapú modellezés lehetővé tette, hogy bonyolult matematikai modellek nélkül megvalósítható legyen az elképzelésem, mivel ez a modellezés azon alapszik, hogy az egyedeket különböző tulajdonsággal ruházzuk fel (pl. hogyan mozogjanak az adott térben). Ennek köszönhetően szépen ábrázolni lehet a mozgást és reprodukálni tudtam a fenti ábrán látható SEIR modell görbéjét.

Kétféle szabályozási lehetőség létezik a modellemben, a laza szabályozás – a döntéshozók csak oltást osztanak szét és a maszkviselést vezetik be – és ennek az ellentétje, amikor a döntéshozók a karantén mellett is dönthetnek. Amit érdemes még megemlíteni, hogy ezeket a szabályozásokat a populációban megjelenő halottak száma alapján vezetik be. Tehát minél hamarabb ugrik meg a halottak száma, annál hamarabb léptetnek életbe korlátozásokat.

A fenti ábrán látható, hogy hogy mozognak az egyes egyedek a különböző esetekben. A fehérek a fogékonyak, a sárgák a lappangók, a pirosak a fertőzők, a zöldek a gyógyultak, a halottak pedig eltűnnek az ábráról.

Az eredmények

A járvány három mutatóját hasonlítottam össze, hogy láthatóvá váljon milyen következményekkel járnak az egyes esetek. Ez a három mutató a halottak száma, a GDP arányos költség és a reprodukciós ráta (R0). A reprodukciós ráta azt mutatja meg nekünk, hogy mennyire terjed egy vírus, így minél kisebb az értéke, annál jobb.

Még mielőtt lefuttattam volna egy alapesetet, megnéztem, hogy szabályozás nélkül milyen költségekkel jár egy járvány. Ez azt jelenti, hogy csak a kórházi költség volt benne és így a GDP százalékában az összköltség 32% volt. Emellett a halottak száma 64 fő volt és az R0 érték pedig 6,664.

Ezek után lefuttattam az alapesetet, amihez a későbbi eredményeket hasonlítom. Ebben a futtatásban a halottak száma 56 fő volt, a GDP arányos költség 34,1%, az R0 pedig 5,98. Már itt látszik a szabályozás hatása, mivel igaz a költségek nem csökkentek jelentősen, de kevesebben haltak meg és kisebb volt a reprodukciós rátája. Ha a karantén lehetőségét is engedélyezzük, akkor a költségek a felére esnek vissza.

A fenti táblázatban jól láthatók a szabálykövetés vizsgálatának az eredményei eredmények. Egy adott populáció szabálykövetése jelentősen nem befolyásolja a halottak számát, viszont a költségekre és a reprodukciós rátára igenis hatással van. A legszembetűnőbb az az eset, amikor a szabálykövetés magas és nem laza szabályozást használ a döntéshozó, akkor jelentősen lecsökkentek a költségek, viszont hiába vezetnek be karantént, ha az emberek nem tartják be a szabályokat, mert akkor a költségek is jelentősek és a vírus is jobban terjed.

Ahogy a szabálykövetésnél is megfigyelhető volt, a magas szigor nem laza szabályokkal jelentősen le tudja csökkenteni a járvány költségeit, azonban hiába vezet be erősebb korlátozásokat a döntéshozó, ha nem tudja betartatni, akkor olyan, mintha nem is lennének azok a korlátozások. Ez az eredmény összeköthető a szabálykövetéssel, mert ebből az látszik, ha egy populáció nem szabálykövető, akkor erős szigorral elérhető ugyanaz az eredmény, mint magas szabálykövetés esetén.

Ha magas halálozási ráta mellett vizsgáljuk a modellt, az figyelhető meg, hogy enyhén csökkennek a költségek – valószínűleg azért, mert hamarabb meghalnak az emberek, mint hogy kórházba kerülnének. Azonban, ha bevezetik a karantént a költségek megint szinte a felére csökkennek, emellett pedig a halottak száma és a reprodukciós ráta is jelentősen lecsökken.

Kis népsűrűségnél költség szempontjából nem lényeges, hogy a döntéshozók laza szabályozást alkalmaznak vagy sem, szinte ugyanannyi lesz a költség nagysága. Ez az érték azonban jelentősen kisebb, mint az alapeset költsége. Ezen felül sem halottak számában, sem reprodukciós rátában nincs említésre méltó különbség.

Egy enyhébb lefolyású betegség esetén a költségek jelentősen csökkennek, emellett laza és nem laza szabályozás mellett szinte megegyeznek, tehát igazából mindegy, hogy van-e karantén vagy nincs. Viszont agresszív betegség esetén a karantén jelentősen csökkenti a költségeket, szinte negyedére esik vissza a laza szabályozáshoz képest.

Összefoglalás

Mivel a modell egy nagyon leegyszerűsített eset, így a valós események következményeivel nem lehet összehasonlítani, de mivel valós adatokat használtam fel, ezáltal próbáltam a magyar helyzethez közelebb hozni, így lehet általános következtetéseket levonni. Mint, ahogy eddig is sejtettük minden szabályozás egyértelműen csökkenti egy komoly pandémia következményeit, akár egészségügyi szempontból, akár gazdasági szempontból. Emellett ha nincs ösztönösen erős szabálykövetés a populációban, akkor célszerű erőteljes szigorral betartatni a korlátozásokat, mert ugyanolyan eredmény érhető el, mint szabálykövető populáció esetében. Ez azt jelenti, hogy az erős szabálykövetés vagy szigor csökkenti a járvány következményeit.

A modellem elemzését összefoglalva a legfontosabb gondolat, amit szeretnék kiemelni, hogy ebben az egyszerűsített környezetben a karantén bevezetése jelentősen le tudta csökkenteni a járvány következményeit, mind gazdasági, mind egészségügyi szempontból. Azonban voltak olyan esetek, ahol a karanténnak nem volt jelentősége, valószínűleg abban az esetben nem érdemes bevezetni, mert nem segít a járvány alakulásában. Mindenesetre a karantén által kreált távolságtartás nagyban elősegítheti a járvány utáni gazdasági fellendülés megalapozását, mivel az emberek jólléte, egészségügyi állapota kevésbé sérül és a gazdaság kevesebb veszteségeket szenved el költségek terén.

Írta: Sallai Dóra